Énergie cinétique : cas du solide indéformable
Obtention de la formule de l'énergie cinétique appliquée au solide indéformable
En faisant intervenir la formule de changement de point \(\overrightarrow{V(M \in S/R)} = \overrightarrow{V(A \in S/R)} + \overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}\), on peut écrire :
\(2 \ T(S/R) =\) somme de trois termes :
\(\int_S [\overrightarrow{V(A \in S/R}]^2 \, dm\)
\(\int_S [\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}]^2 \, dm\)
\(\int_S \overrightarrow{V(A \in S/R)} \cdot (\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM})\, dm\) (compté deux fois)
Le premier terme peut s'écrire \(= m \ \overrightarrow{V(A \in S/R}]^2\)
Le deuxième terme peut être modifié en utilisant le produit mixte, afin de faire apparaître l'opérateur d'inertie du solide :
\(= \int_S (\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}) \cdot (\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}) \, dm\)
\(= \int_S \overrightarrow{\Omega (S/R)} \cdot \overrightarrow{AM} \wedge (\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}) \, dm\)
\(= \overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot \Im(A/S) (\overrightarrow{\Omega(S/R))}\)
Le troisième terme peut s'écrire \(\overrightarrow{V(A \in S/R)} \cdot (\overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge m \ \overrightarrow{AG})\)
En factorisant \(\overrightarrow{V(A \in S/R)}\) dans le premier terme et l'une des occurrences du troisième terme, on obtient :
\(m \ \overrightarrow{V(A \in S/R)} \cdot (\overrightarrow{V(A \in S/R)} + \overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge m \ \overrightarrow{AG})\)
c'est-à-dire \(m \ \overrightarrow{V(A \in S/R)} \cdot \overrightarrow{V(G \in S/R)}\)
La deuxième occurrence du troisième terme, en utilisant à nouveau le produit mixte, peut être écrite :
\(\overrightarrow{\Omega (S/R)} \cdot ( m \ \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V(A \in S/R)})\)
En factorisant \(\overrightarrow{\Omega (S/R)}\) dans cette dernière expression et dans le deuxième terme, on obtient :
\(\overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot (\Im(A/S) (\overrightarrow{\Omega(S/R))} + m \ \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V(A \in S/R)})\)
c'est-à-dire \(\overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot \overrightarrow{\sigma (A \in S/R)}\)
L'énergie cinétique s'écrit donc :
\(2 \ T(S/R) ={\color{green} m \ \overrightarrow{V(A \in S/R)} \cdot \overrightarrow{V(G \in S/R)}} + {\color{magenta}\overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot \overrightarrow{\sigma (A \in S/R)}}\)
Remarque :
Si le point A quelconque précédent est le centre de gravité G, l'expression devient :
\(2 \ T(S/R) = {\color{green}m \ [\overrightarrow{V({\color{red}G} \in S/R)}]^2} +{\color{magenta} \overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot \mathfrak{I}_{\color{red}G} (S) \cdot \overrightarrow{\Omega (S/R)}}\)
Théorème
L'énergie cinétique d'un solide S en mouvement par rapport à un repère R est égale à la moitié du comoment des torseurs cinétique et cinématique.
Remarque :
Le comoment ne dépend pas du point choisi pour exprimer les torseurs, mais il est défini par rapport à un repère !
Cas particuliers
Solide en rotation autour d'un point A appartenant à S dont la vitesse est nulle dans R
\(T(S/R) = {\color{magenta}\frac{1}{2} \ \overrightarrow{\Omega(S/R)} \cdot \mathfrak{I}_G (S) \cdot \overrightarrow{\Omega (S/R)}}\)
Solide en rotation autour d'un axe fixe (A,x) dans R
Avec \(\overrightarrow {\Omega (S/R)} = \omega \vec x\) : \(T(S/R) = {\color{magenta}\frac{1}{2} \ I_{Ax}(S) \ \omega ^2}\)
Solide en translation
\(T(S/R) = {\color{green}\frac{1}{2} \ m \ [\overrightarrow{V(G \in S/R)}]^2}\)