Définitions à propos de la masse et du centre de masse

En mécanique Newtonienne, la masse est une grandeur fondamentale et caractéristique intrinsèque d'un corps. Elle peut être considérée comme caractérisant la quantité de matière de ce corps. C'est une grandeur scalaire positive.

\(m_E = \int_E \rho (M) \, dv\) avec \(dv\) : volume élémentaire en M et \(\rho (M)\): masse volumique en M.

Système matériel

Au cours de transformations physiques ou chimiques, cette masse ne varie pas. De plus, si elle ne varie pas au cours du temps, on dit que le système matériel est à masse conservative. Ainsi : E est à masse conservative si quelques soient \(t_1 \text{ et } t_2, \ m(E,t_1) = m(E, t_2)\).

En voici une conséquence importante :

soient E un ensemble matériel en mouvement par rapport à un repère R, et \(\vec{f}(M,t)\) un champ de vecteurs définis en tout point M de E, continûment différentiable par rapport à t (vitesse, accélération...), le principe de conservation de la masse permet d'écrire :

\[\frac{d}{dt} \left[ \int_E \vec f (M,t) \, dm \right]_R = \int_E \left[ \frac{d \vec f (M,t)}{dt}\right]_R dm\]

DéfinitionCentre de gravité (de masse, ou d'inertie)

  • Méthode intégrale : \(\int_E \overrightarrow{GM} \, dm = \vec 0 \! \Rightarrow \! m_E \, \overrightarrow{OG} = \int_E \overrightarrow{OM} \, dm\)

  • Méthode barycentrique : \((m_1 - m_2) \cdot \overrightarrow{OG} = m_1 \cdot \overrightarrow{OG_1} - m_2 \cdot \overrightarrow{OG_2}\)

Remarque

Si E est un solide indéformable, alors G est fixe dans tout repère lié à E.