Cas du solide indéformable S

Dans le cas du solide indéformable, on peut utiliser la formule du changement de point et écrire :

\(\overrightarrow{\sigma (A,E/R)} = \int_S \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \overrightarrow{V(A \in S/R)} + \overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM} \right]dm\)

\(= \left( \int_S \overrightarrow{AM} \, dm \right) \wedge \overrightarrow{V(A \in S/R)} + \int_S \left( \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{\Omega (S/R)} \wedge \overrightarrow{AM}\right) \, dm\)

\(= m \, \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V(A \in S/R)} + \vec X\)

On reconnaît le vecteur \(\vec X\) comme l'opérateur d'inertie exprimé au point A et appliqué au vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega (S/R)}\)

DéfinitionTorseur cinétique d'un solide S par rapport au repère R, exprimé en un point A :

\[\left\{ \mathcal{C}(S/R) \right\}_A = \left\{ \begin{array}{c} {\color{red}{m \overrightarrow{V(G \in S/R)}}} \\ {\color{blue}{\overrightarrow{\sigma (A, S/R)} = m \, \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V(A \in S/R)} + \Im_A(S) . \overrightarrow{\Omega (S/R)}}}\end{array} \right\}_R\]

RemarqueCas particuliers du moment cinétique d'un solide S

  • Au centre de gravité G : \({\color{blue}\overrightarrow{\sigma ({\color{red}G},S/R)} = \Im_{\color{red}G} (S) \ \overrightarrow{\Omega (S/R)}}\)

  • Si la vitesse de A appartenant à S est nulle par rapport à R : \({\color{blue}\overrightarrow{\sigma ({\color{red}A},S/R)} = \Im_{\color{red}A} (S) \ \overrightarrow{\Omega (S/R)}}\)

Attention : une erreur fréquente consiste à considérer que le moment cinétique en A est égal à \(\Im_A (S) \ \overrightarrow{\Omega (S/R)}\) si A est fixe dans R.

Pourtant, A peut être un point fixe par rapport au repère R mais avoir une vitesse d'entraînement non nulle en appartenant à S par rapport à R !