Relation entre moment cinétique et moment dynamique
Dans la pratique, il sera plus aisé de calculer un moment dynamique en utilisant le moment cinétique exprimé au préalable.
\(\frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma (A,E/R)} \right]_R = \frac{d}{dt}\left[ \int_E \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \, dm \right]_R\)
\(= \int_E \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \right]_R \, dm\)
\(= \int_E \left( \overrightarrow{V(M/R)} - \overrightarrow{V(A/R)}\right) \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \, dm + \int_E \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{\Gamma(M/R)} \, dm\)
Soit :
\(\overrightarrow{\delta(A,E/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(A,E/R)}\right]_R + m \, \overrightarrow{V(A/R)} \wedge \overrightarrow{V(G/R)}\)
C'est une formule valable pour un ensemble E quelconque (pas forcément un solide indéformable)
Définition : Torseur dynamique d'un solide S par rapport au repère R, exprimé en un point A :
Remarque : Cas particuliers du moment dynamique d'un solide S
Au centre de gravité G :
\({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (G,S/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(G,E/R)}\right]_R}}\)
Si A est fixe dans R :
\({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (A,S/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(A,E/R)}\right]_R}}\)
Si le solide S a un mouvement de translation par rapport à R :
\({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (G,S/R)} = \vec 0}}\)