Relation entre moment cinétique et moment dynamique

Dans la pratique, il sera plus aisé de calculer un moment dynamique en utilisant le moment cinétique exprimé au préalable.

\(\frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma (A,E/R)} \right]_R = \frac{d}{dt}\left[ \int_E \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \, dm \right]_R\)

\(= \int_E \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \right]_R \, dm\)

\(= \int_E \left( \overrightarrow{V(M/R)} - \overrightarrow{V(A/R)}\right) \wedge \overrightarrow{V(M/R)} \, dm + \int_E \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{\Gamma(M/R)} \, dm\)

Soit :

\(\overrightarrow{\delta(A,E/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(A,E/R)}\right]_R + m \, \overrightarrow{V(A/R)} \wedge \overrightarrow{V(G/R)}\)

C'est une formule valable pour un ensemble E quelconque (pas forcément un solide indéformable)

DéfinitionTorseur dynamique d'un solide S par rapport au repère R, exprimé en un point A :

\[\left\{ \mathcal{D}(S/R) \right\}_A = \left\{ \begin{array}{c} {\color{red}{m \, \overrightarrow{\Gamma (G \in S/R)} }}\\ {\color{blue}{\overrightarrow{\delta (A, S/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(A,S/R)}\right]_R + m \, \overrightarrow{V(A/R)} \wedge \overrightarrow{V(G/R)}}}\end{array} \right\}_R\]

RemarqueCas particuliers du moment dynamique d'un solide S

  • Au centre de gravité G :

    \({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (G,S/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(G,E/R)}\right]_R}}\)

  • Si A est fixe dans R :

    \({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (A,S/R)} = \frac{d}{dt}\left[ \overrightarrow{\sigma(A,E/R)}\right]_R}}\)

  • Si le solide S a un mouvement de translation par rapport à R :

    \({\color{blue}{\overrightarrow{\delta (G,S/R)} = \vec 0}}\)