Propriétés et théorèmes
Fondamental :
commutativité | \(a+b = b+a\) | \(a \cdot b = b \cdot a\) |
---|---|---|
distributivité | \(a+(b \cdot c) = (a+b)\cdot(a+c)\) | \(a \cdot (b+c) = (a\cdot b) + (a \cdot c)\) |
élément neutre | \(a+0=a\) | \(a \cdot1 = a\) |
complémentarité | \(a + \bar a = 1\) | \(a \cdot \bar a = 0\) |
idempotence | \(a+a = a\) | \(a \cdot a = a\) |
élément absorbant | \(a +1 = 1\) | \(a \cdot 0 = 0\) |
absorption | \(a + a \cdot b = a\) | \(a \cdot (a +b) =a\) |
associativité | \(a+(b+c) = (a+b)+c =a+b+c\) | \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c\) |
Théorèmes de De Morgan | \(\overline{a+b} = \bar a \cdot \bar b\) | \(\overline{a \cdot b} = \bar a + \bar b\) |
Exemple : Quelques explications
Imaginons une lampe \(L\) allumée par deux boutons poussoirs \(a\) et \(b\).
Complémentarité :
1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU ne pas appuyer sur \(a \): la lampe est donc toujours allumée (état \(1\))
2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET ne pas appuyer sur \(a \): la lampe est donc toujours éteinte (état \(0\))
Idempotence :
1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU appuyer sur \(a \): il faut donc simplement appuyer sur \(a\)
2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET appuyer sur \(a \): il faut donc simplement appuyer sur \(a\)
Absorption :
1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU appuyer sur \(a\) ET \(b\) en même temps : il suffit donc simplement d'appuyer sur \(a\)
2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET appuyer sur \(a\) OU \(b\) en même temps (les parenthèses sont importantes) : il suffit donc simplement d'appuyer sur \(a\)
Conséquence sur l'équation logique : \(b\) a été absorbé par \(a\).
De Morgan :
1ère colonne : "il NE FAUT PAS appuyer sur \(a\) OU \(b\)" est équivalent à "il FAUT : ne pas appuyer sur \(a\) ET ne pas appuyer sur \(b\) en même temps"
2ème colonne : "il NE FAUT PAS appuyer sur \(a\) ET \(b\) en même temps" est équivalent à "il FAUT : ne pas appuyer sur \(a\) OU ne pas appuyer sur \(b\)
Remarque :
Toute égalité logique possède son équivalent par dualité : on peut remplacer les ET par des OU, et réciproquement.
Par exemple : \(a.(a+b)=a\) est équivalent \(a + (a.b)=a\) (propriété de l'absorption)