Propriétés et théorèmes

Fondamental

commutativité

\(a+b = b+a\)

\(a \cdot b = b \cdot a\)

distributivité

\(a+(b \cdot c) = (a+b)\cdot(a+c)\)

\(a \cdot (b+c) = (a\cdot b) + (a \cdot c)\)

élément neutre

\(a+0=a\)

\(a \cdot1 = a\)

complémentarité

\(a + \bar a = 1\)

\(a \cdot \bar a = 0\)

idempotence

\(a+a = a\)

\(a \cdot a = a\)

élément absorbant

\(a +1 = 1\)

\(a \cdot 0 = 0\)

absorption

\(a + a \cdot b = a\)

\(a \cdot (a +b) =a\)

associativité

\(a+(b+c) = (a+b)+c =a+b+c\)

\(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c\)

Théorèmes de De Morgan

\(\overline{a+b} = \bar a \cdot \bar b\)

\(\overline{a \cdot b} = \bar a + \bar b\)

ExempleQuelques explications

Imaginons une lampe \(L\) allumée par deux boutons poussoirs \(a\) et \(b\).

Complémentarité :

  • 1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU ne pas appuyer sur \(a \): la lampe est donc toujours allumée (état \(1\))

  • 2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET ne pas appuyer sur \(a \): la lampe est donc toujours éteinte (état \(0\))

Idempotence :

  • 1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU appuyer sur \(a \): il faut donc simplement appuyer sur \(a\)

  • 2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET appuyer sur \(a \): il faut donc simplement appuyer sur \(a\)

Absorption :

  • 1ère colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) OU appuyer sur \(a\) ET \(b\) en même temps : il suffit donc simplement d'appuyer sur \(a\)

  • 2ème colonne : pour que \(L\) soit allumée, il faut appuyer sur \(a\) ET appuyer sur \(a\) OU \(b\) en même temps (les parenthèses sont importantes) : il suffit donc simplement d'appuyer sur \(a\)

Conséquence sur l'équation logique : \(b\) a été absorbé par \(a\).

De Morgan :

  • 1ère colonne : "il NE FAUT PAS appuyer sur \(a\) OU \(b\)" est équivalent à "il FAUT : ne pas appuyer sur \(a\) ET ne pas appuyer sur \(b\) en même temps"

  • 2ème colonne : "il NE FAUT PAS appuyer sur \(a\) ET \(b\) en même temps" est équivalent à "il FAUT : ne pas appuyer sur \(a\) OU ne pas appuyer sur \(b\)

Remarque

Toute égalité logique possède son équivalent par dualité : on peut remplacer les ET par des OU, et réciproquement.

Par exemple : \(a.(a+b)=a\) est équivalent \(a + (a.b)=a\) (propriété de l'absorption)