Exercice d'application : matrices d'inertie exprimées au centre de gravité
Question
Déterminer la matrice d'inertie en G d'un cylindre de rayon R, de hauteur h, de masse m et d'axe (G,z)
Déterminer la matrice d'inertie en G d'un parallélépipède de masse m et de côtés a, b, c.
Indice
Penser aux symétries.
Solution
Matrice d'inertie en G d'un cylindre de masse m, de rayon R et de hauteur h, d'axe \((G, \vec z)\):
\[\left( \begin{array}{ccc} m\left( \frac{R^2}{4}+ \frac{h^2}{12}\right ) & 0 & 0 \\0 & m\left( \frac{R^2}{4}+ \frac{h^2}{12}\right ) & 0 \\ 0 & 0 & m\left( \frac{R^2}{2}\right ) \end{array}\right)_{(-,-,\vec z)}\]
Matrice d'inertie en G d'un parallélépipède de masse m, de côtés a, b et c :
\[\left( \begin{array}{ccc} \frac{m}{12} \left( b^2 + c^2 \right) & 0 & 0 \\0 & \frac {m}{12} \left( a^2 + c^2 \right) & 0 \\ 0 & 0 & \frac {m}{12}\left( a^2 + b^2 \right) \end{array} \right)_{(\vec x,\vec y,\vec z)}\]