Définition de l'opérateur d'inertie
On peut montrer que la répartition de masse d'un solide indéformable autour d'un de ses points peut s'écrire d'une manière vectorielle plutôt que scalaire (comme avec le moment d'inertie \(I_O(S) = \int_S \overrightarrow{OM}^2 \, dm\) ).
Complément : Détail de la mise en évidence de l'opérateur d'inertie
D'après la définition scalaire du moment d'inertie et son schéma vus plus haut[1], on peut écrire que la distance HM correspond à la norme du produit vectoriel \(\vec u \wedge \overrightarrow{HM}\). Ainsi : \(I_O(S) = \int_S ( \vec u \wedge \overrightarrow{HM})^2 \, dm\).
En utilisant les propriétés du produit mixte, on peut obtenir \(I_O(S) = \vec u \cdot \int_S \overrightarrow{HM} \wedge ( \vec u \wedge \overrightarrow{HM}) \, dm\).
Cela fait apparaître le moment d'inertie comme le produit scalaire du vecteur \(\vec u\) avec un vecteur appelé "opérateur d'inertie au point O du solide S, appliqué au vecteur \(\vec u\)".
Définition : Opérateur d'inertie
Soit un solide indéformable S et un point quelconque A de ce solide.
L'opérateur d'inertie au point A du solide S est l'application, notée \(\mathfrak{I}_A(S)\), qui à tout vecteur \(\vec u\) associe le vecteur \(\int_S \overrightarrow{AM} \wedge ( \vec u \wedge \overrightarrow{AM}) \, dm\).
Notons que cette notation reste similaire à celle d'une fonction, qui à x associe f(x).